As duas formas – chuto e chute – existem na Língua Portuguesa e têm o mesmo significado.
Ou seja, podemos usar ambas as palavras.
Chuto ou chute, como substantivo, significa o ato de chutar; impulso forte que se dá na bola; pancada dada com o pé; ponta-pé; o ato de dispensar ou rejeitar; fora.
Tentou lhe dar um chuto na canela.
Levou um chute da namorada.
O chute é uma parte fundamental em muitas artes marciais.
Em termos de uso a palavra chuto é mais habitual em Portugal, a palavra chute é mais habitual no Brasil.
Forma verbal
Notar que esta dúvida é referente ao substantivo “chuto ou chute” e não à forma verbal de cada um destes termos na conjugação do verbo chutar. Aqui, as definições são diferentes.
chuto = primeira pessoa do singular do presente do indicativo de chutar
chute = primeira e terceira do singular do presente do subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo de chutar
Eu chuto a bola.
Espero que ele chute com força.
Referências
Advém do inglês shoot.