As duas formas – contínuo e continuo – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Contínuo, com acento agudo na vogal “i”, é um adjetivo e significa que continua, se estende; que se prolonga; ininterrupto; sucessivo.
Necessitamos de um diálogo contínuo com o Parlamento.
O desgaste contínuo dos recursos florestais podem provocar impactos negativos sobre o ambiente.
Como substantivo significa empregado auxiliar de um escritório.
O contínuo também trabalhava na fábrica.
Continuo, não acentuado, é uma forma verbal do verbo continuar, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente indicativo do verbo.
eu [ continuo ]
Eu continuo vivo!
Talvez seja muito cedo, mas eu continuo torcendo por isso.
Obs:
presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não dependem de um tempo específico
Referências
Contínuo advém do latim continuu.
Continuo advém do verbo continuar.