As duas formas animo e ânimo existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Animo é a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo animar.
eu [ animo ]
Eu animo a festa.
Apenas me deixe ir até aí, eu animo você.
Obs:
presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não depende de um tempo específico
verbo animar = dar vida, ação, movimento, entusiasmo; dar realce, avivar
Ânimo, com acento circunflexo, é uma interjeição ou substantivo – significa coragem, força; vontade.
Ânimo, minha gente! :: interjeição
Estou sem ânimo nenhum :: substantivo
Obrigado pelas as palavras de ânimo :: substantivo
Referências
Ânimo advém do latim animu.