As duas formas – auxílio e auxilio – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Auxílio, com acento gráfico, é um substantivo; significa o ato ou efeito de auxiliar ou socorrer; ajuda, amparo; contribuição.
O programa presta auxílio financeiro aos planos regionais.
Com o auxílio de um sindicato de ferroviários, mobilizaram-se e pediram o meu apoio.
Auxilio, sem acento gráfico, é uma forma verbal do verbo auxiliar, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente indicativo do verbo.
eu [ auxilio ]
Eu auxilio no que puder!
Ou seja, eu auxilio os meus alunos, não os ensino.
Obs: o verbo auxiliar significa ajudar, prestar auxílio a, socorrer.
Referências
Auxílio advém do latim auxilium.
Auxilio advém do verbo auxiliar.