As duas formas – começasse e começa-se – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo começar mas empregues em diferentes modos.
Começasse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ começasse ], se ele; ela; você [ começasse ]
Julguei que isto começasse às dez.
Gostarias que começasse a explicar a minha situação?
Era bom que alguém começasse a fazer sentido, e depressa.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma começa-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Mesmo quando não se sabe, começa-se a pensar.
Às vezes começa-se uma viagem por uma razão… e termina-se por outra.