As duas formas começaste e começas-te existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo começar mas empregues em diferentes modos e com distintas pronúncias.
Começaste é a segunda pessoa do singular do pretérito perfeito do modo indicativo do verbo.
tu [ começaste ]
Na verdade, começaste a fumar por minha causa.
Não sei quando começaste a beber…
Quando começaste a trabalhar para eles?
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
verbo começar = dar início a alguma coisa; principiar, iniciar, encetar
A forma começas-te é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “te”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica ( tu ).
É uma flexão pouco usada, significa que começas algo para/em ti mesmo.
Penso que começas-te a aperceber que estavas errado!
Depois das provas começas-te a sentir mais solta.
Começas-te a definir enquanto profissional, mostrando do que és capaz.