As duas formas – custear e costear – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Custear significa suportar os custos de; financiar; subvencionar.
O país anfitrião deverá custear todas as despesas.
A sua empresa pode custear parcial ou totalmente o plano de formação.
Costear significa navegar junto à costa de; seguir de perto; rodear.
A fragata costeou inúmeras praias antes de partir para alto-mar.
Belo passeio de barco, costeando as lindas praias de Natal.
Referências
São palavras parónimas: semelhantes tanto na escrita e na pronúncia mas com significado diferente.
Custear advém da construção custo + ear.
Costear advém da construção costa + ear.