A forma correta de escrita é desígnio de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com acento agudo na primeira vogal “i” formando a sílaba -sí-.
Desígnio significa intenção de realizar algo; intento; plano; vontade; destino; desejo.
Combate à pobreza deve ser desígnio nacional.
Vive na Igreja no cumprimento do seu eterno desígnio de salvação.
Como sinónimos de desígnio podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: plano, tenção, intento, propósito, intenção, vontade, desejo, destino, fim.
Designio não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa;
Referências
Advém do latim tardio designium.