A forma correta de escrita é detrimento de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a sílaba -tri-, a divisão silábica é de.tri.men.to
Detrimento significa prejuízo, dano, aviltamento; qualquer prejuízo sofrido por alguém ou algo.
O ideal é produzir a um menor custo sem detrimento da qualidade.
Muitas vezes usado na expressão em detrimento de = com prejuízo de; em desfavor de
O seu êxito não se construiu em detrimento dos outros.
Deterimento não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim detrimentum.