A forma correta de escrita é duche de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito com o dígrafo “ch” formando a sílaba -che.

Duche significa banho de chuveiro; jato ou chuveiro de água que se aplica a alguém com fins higiênicos ou terapêuticos.

Um duche vai-te fazer muito bem.
Não tome duche ou banho durante este período de tempo.

Obs: no Brasil a palavra “duche” é raramente utilizada, a variante usada é ducha.

O banheiro dispõe de bicicleta ergométrica, ducha e banheira de hidromassagem.

Duxe não está correto na Língua Portuguesa.


Referências

Advém do francês douche.