A forma correta de escrita é engolir de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a vogal “o”.
Engolir significa fazer entrar pela boca para o estômago; comer precipitadamente sem mastigar. Em sentido figurado significa aceitar como verdade; sofrer com paciência.
Obrigaram-me a engolir dois comprimidos.
Uma história difícil de engolir.
Engolir em seco.
Como sinónimos de engolir podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: absorver, aturar, comer, devorar, deglutir, ingerir, gramar, suportar, sustentar, tolerar, tomar, tragar.
Engulir não existe na Língua Portuguesa; convém referir que era a grafia antiga em derivação do termo “gula” mas que atualmente é escrito com “o”.
Referências
Advém do latim ingullire.