As duas formas – estreitamente e estritamente – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Estreitamente significa em espaço estreito; apertadamente; escassamente.
Está estreitamente ligado ao governo.
Toda a vida no nosso planeta está estreitamente relacionada.
Estritamente significa de modo estrito; com precisão; precisamente; com todo o rigor; exatamente.
Foi uma decisão estritamente política.
É estritamente proibido confraternizar com o inimigo.
Sinônimos?
Em certos contextos o sentido estreito (oposto a lato) pode conduzir a agir de forma estrita (com precisão, de forma exata) mas tal não me parece suficiente para conotar as palavras como sinônimos.
Referências
Estreitamente advém da construção estreito + mente.
Estritamente advém da construção estrito + mente.