As duas formas fixar e fichar estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Fixar significa tornar fixo, firme, seguro; estabelecer, promover a fixação; memorizar, aprender de cor; estatuir como regra ou norma.
Não consigo fixar as estacas da tenda.
Estava concentrado em fixar a matricula.
Fichar significa registar dados sobre um tema ordenadamente em ficha; catalogar, arquivar.
Terminei de fichar os caras que apreendemos hoje.
Referências
Fixar advém da construção fixo + ar.
Fichar advém da construção ficha + ar.