As duas formas há justa e à justa estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as expressões são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Há justa é equivalente a dizer que existe justa [algo] (verbo haver no sentido de existir). É particularmente utilizado na expressão há justa causa.
Em tese, há justa causa para ação penal.
Há justa causa para despedimento, por perda da confiança no trabalhador.
Definir se há justa distribuição dos custos.
Quando um plano de recuperação é aprovado, há justa expectativa dos credores receberem o devido.
A construção à justa é utilizada quando fazemos menção a + «a justa»; quando tal acontece somos a escrever com a crase à = a + a. Notar que justa é um substantivo feminino.
Na maioria das vezes é utilizada como locução adverbial significando nem mais nem menos, na medida certa.
Se conseguir vai ser mesmo à justa.
Coronel, vai chegar aqui mesmo à justa!
Com dinheiro à justa para combustível, sandes e café, mas conseguimos.