A forma correta de escrita é inspiramo-nos de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, existe omissão da letra “s” final na desinência -mos.
Inspiramo-nos = [nós] inspiramos + nos (clítico), ou seja, estamos perante a terminação da primeira pessoa do plural -mos, seguida do clítico nos.
Dada a homofonia entre as duas terminações ( “mos” e “nos” ), a língua encontrou uma forma de as distinguir, dita a «dissimilação das sílabas parafónicas», isto é, a letra “s” cai na desinência -mos.
Perseguimo-nos, desafiamo-nos e inspiramo-nos um ao outro.
Hoje, inspiramo-nos na história de “Nobre povo e nação valente”.
Inspiramo-nos em sonhos para trabalhar a realidade!
Obs: aplica-se somente aos casos em que o pronome enclítico (depois do verbo) é -nos e estamos na primeira pessoa do plural
Outros exemplos:
encontramo-nos
passamo-nos
desafiamo-nos
Inspiramos-nos não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Exemplos pronomes átonos (ligados a formas verbais): me, te, se, lhe, nos, vos, lhes, o, a, os, as.