As duas formas – legitimo e legítimo – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Legitimo, não acentuado, é uma forma verbal do verbo legitimar, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.

eu [ legitimo ]

Eu legitimo toda a reação do oprimido.
Eu legitimo a minha militância nos movimentos sociais.

Obs:
_ verbo legitimar = tornar legítimo; justificar; fazer reconhecer por autêntico um poder, um título etc.
_ presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não dependem de um tempo específico

Legítimo, com acento agudo na vogal “i”, é um adjetivo que significa de acordo com a lei; legal; de acordo com as regras, padrões e princípios estabelecidos; de acordo com as leis da lógica e da razão.

O único poder legítimo, legal e constitucional cabe à Assembleia Nacional.
Penso ser legítimo afirmar que esta resolução será positiva para todos.

Tem ainda o sentido de criança nascida dentro de um casamento, de pais legalmente casados.

Teste de ADN prova que é filho legítimo.

Expressão:
legítima defesa :: usar meios legais para se defender


Referências

Legitimo advém do verbo legitimar.
Legítimo advém do latim legitimu.