As duas formas – mais bem e melhor – existem na Gramática Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Melhor é o comparativo de superioridade e superlativo de bom; superior.
Isto é melhor que aquilo.
Fazermos o melhor que podemos; o resto é detalhe.
Mais bem é uma expressão válida na Língua Portuguesa e nem sempre deve ser substituída por melhor; tal como nos foi ensinado.
Muitas vezes é necessária a sua utilização, ou seja, obrigatório.
A forma mais fácil de demonstrar o uso de mais bem é com exemplos práticos:
O aluno mais bem preparado passou com distinção.
Eu aprendi alemão na escola mais bem preparada de Portugal.