As duas formas – mandado e mandato – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Mandado significa uma ordem judicial; ato de mandar; mandamento; despacho escrito de autoridade judicial ou administrativa.

O mandado de detenção europeu é uma decisão judiciária emitida por um Estado membro com vista à detenção e entrega por outro Estado membro.

Expressões:
mandado judicial
mandado de prisão
mandado de captura
mandado de deus
mandado de busca

No mandado estamos perante uma ordem ou despacho de A para B, isto é, A manda.

Mandato significa uma autorização para agir de uma determinada forma; incumbência; delegação ou procuração.

O mandato atribui poderes ao mandatário para representar a parte.
O presidente tem mandato de 2 anos e deve alternar com o vice-presidente após dois anos.

Expressões:
mandato eleitoral
mandato facultativo
mandato parlamentar
mandato judicial

No mandato estamos perante uma autorização ou delegação de A para B que implica um certo grau de confiança ( B é chamado de mandatário ).


Uma vez que são termos bastante usados no campo jurídico veja-se no código de Processo Civil:

Mandado é um ato escrito, emanado de autoridade pública competente, judicial ou administrativa, determinando a prática de ato ou diligência.

O mandato judicial é então um contrato pelo qual o advogado, mandatário, se obriga a representar a parte, mandante, em litígio.


Referências

São palavras parónimas: semelhantes tanto na escrita e na pronúncia mas com significado diferente.

Mandado advém do latim mandatu.
Mandato advém do latim mandātum.