As duas formas – mui e muito – existem na Língua Portuguesa com um grau de proximidade elevado em determinados contextos.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e têm um sentido semelhante, mas “mui” é mais restrito.
Mui é um advérbio (forma apocopada de muito) que significa em alto grau; este termo é usado antes de adjetivos, ou de advérbios terminados em -mente.
Foi mui feliz.
Mui seguramente que sim.
Obs: “mui” não é usado com frequência mas é um termo válido
Muito é mais abrangente, pode funcionar como advérbio ou pronome com o significado de em alto grau; com excesso; abundantemente e em grande quantidade.
Gosto muito de ler.
Tenho lido e estudado muito para perceber a matéria.
É muito comum nas crianças dos 4 aos 7 anos de idade. **
O desenvolvimento humano é uma medida muito imperfeita. **
Obs: nos exemplos atrás “mui” poderia ser usado em (**) já que estaria antes de adjetivo e teria sentido
Referências
Muito advém do latim multus.