A forma correta de escrita é pátio de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a vogal “i”.
Pátio significa recinto descoberto no interior de uma casa; terreno murado ao lado de uma casa; vestíbulo; átrio.
Mandou construir uma lareira no pátio privado.
As diversas salas que constituem o Paço dos Duques estruturavam-se em volta do pátio com galerias.
Páteo está incorreto apesar de ter sido a forma de grafar antes da reforma ortográfica de 1911 pelo que poderá encontrar este termo em textos, construções e edifícios que datam dessa altura.
Referências
Advém do latim patiu.