As duas formas – portanto e por tanto – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Portanto é uma conjunção que significa por isso; por conseguinte; dessa forma; dessa maneira; isto posto; logo.
Portanto, tenha cuidado.
Estudei, portanto, estou preparado.
Por tanto ( escrito em separado ) significa quantidade ou valor; trata-se de um valor indeterminado.
Obrigado por tanto amor.
Por tanto carinho a vida me fez assim.
Referências
Apesar de “portanto” advir da construção por + tanto os sentidos são diferentes pelo que tenha como referência os exemplos apontados.