As duas formas – precisaram e precisarão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo precisar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Precisaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ precisaram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Quando precisaram, eu estive lá.
Hey, estas coisas precisaram de muito tempo para tratar!

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Precisarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ precisarão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

Um dia, precisarão da nossa ajuda!
Se forem às autoridades… precisarão de provas.