A forma correta de escrita é qualquer quando nos referimos ao pronome; no entanto “qual quer” pode surgir desta forma dependendo do contexto.
Ou seja, o pronome qualquer não tem separação de termos.
Qualquer significa todo, toda; pessoa ou coisa indeterminada; usado para excluir qualquer dos elementos do conjunto referido.
Hoje em dia, qualquer criança sabe usar um “tablet”. :: toda
Ele não era um qualquer; era bem especial. :: pessoa indeterminada
Não chegou a qualquer conclusão! :: excluir = nenhum
Qual quer, como referido, pode ser parte da frase e estar correto. Nesse caso não substituir pelo pronome “qualquer”.
Use o seu rato, e escolha uma das três figuras com a qual quer jogar.
É a música pelo qual quer ser lembrado quando falecer.
Referências
Advém de qual + quer.