A forma correta de escrita é quando muito de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é uma locução que deve ser escrita com “quando”.

Quando muito significa se tanto; no máximo.

Quando muito, espero pela tua resposta até amanhã.
Se alguém falar em uma língua estranha, que a falem somente dois, quando muito três.

Notar que o mesmo se aplica à expressão “quando menos” que significa pelo menos, ao menos.

A sorte aparece quando menos se espera.

Quanto muito não está correto na Língua Portuguesa; em alguns textos pode surgir esta expressão, talvez por influência de “quanto mais” (expressão válida), mas em termos gramaticais é uma construção errada.