As duas formas refúgio e refugio estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Refúgio, com acento agudo na vogal “u”, é um substantivo – significa lugar para onde alguém se retira para evitar um perigo; abrigo, retiro; meio de escapar.
Encontrou refúgio na Costa Rica.
Este sítio é um refúgio para os marginalizados.
Refugio, sem acento gráfico, é uma forma verbal do verbo refugiar, nomeadamente, a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.
eu [ refugio ]
No Senhor me refugio.
Refugio-me no meu espaço.
Referências
Refúgio advém do latim refugium.
Refugio advém do verbo refugiar.