As duas formas ringue e rinque estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Ringue significa lugar em que alguns esportes ou exposições acontecem; especialmente uma arena circular ou similar, tal como um ringue de boxe ou um ringue de circo.
Balboa aproxima-se do centro do ringue.
Pessoal, isto não é um ringue de boxe!
Rinque significa lugar, onde se patina; local com pista de patinagem.
O nosso primeiro desafio era em um rinque de gelo.
Referências
Ringue advém do inglês ring.
Rinque advém do inglês rink.