A forma correta de escrita é vamo-nos de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, existe omissão da letra “s” final na desinência -mos.
Vamo-nos = [nós] vamos + nos (clítico), ou seja, estamos perante a terminação da primeira pessoa do plural -mos, seguida do clítico nos.
Dada a homofonia entre as duas terminações ( “mos” e “nos” ), a língua encontrou uma forma de as distinguir, dita a «dissimilação das sílabas parafónicas», isto é, a letra “s” cai na desinência -mos.
Temos de encontrá-lo, vamo-nos separar.
Está bem, vamo-nos reunir esta noite.
Obs: aplica-se somente aos casos em que o pronome enclítico (depois do verbo) é -nos e estamos na primeira pessoa do plural
Outros exemplos:
lavamo-nos
encontramo-nos
convidámo-nos
Vamos-nos não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Exemplos pronomes átonos (ligados a formas verbais): me, te, se, lhe, nos, vos, lhes, o, a, os, as.