A forma correta de escrita é à mão de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, levam o acento indicador da crase as locuções adverbiais formadas por palavras femininas que indicam modo/circunstância.
A locução à mão significa manualmente, artesanalmente; feito com as mãos, em oposição a feito com máquinas.
Ela fia as fibras à mão para obter uma textura única.
Ela prefere costurar à mão em vez de usar uma máquina.
Notar que pode ter o sentido de próximo, ao perto, na proximidade.
Sempre tenha alho em pó à mão para temperos rápidos e fáceis.
Manter o manual à mão para consulta quando necessário.
Relativamente que o texto “a mão” está correto mas não no sentido de formar locução (âmbito desta dúvida).
Ele acenou com a mão.