As duas formas – abaixar e baixar – existem na Língua Portuguesa e têm o mesmo significado.
Ou seja, abaixar e baixar são sinônimos na maioria dos contextos mas existem excepções ( *1 ). De salientar que “baixar” é mais usado!
Abaixar significa tornar mais baixo; fazer descer; baixar; diminuir; submeter; humilhar; fazer com que o corpo se curve, se dobre para baixo.
Um guerreiro não pode abaixar a cabeça.
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Abaixar a guarda parecia-nos uma perda de identidade.
Baixar, como verbo transitivo, significa pôr baixo, pôr em baixo, abaixar, fazer pender; inclinar; fazer descer; arriar; apear, etc.
Baixou a espada e rendeu-se!
Se o preço baixar eu compro!
Deslize da direita para esquerda para subir ou baixar o volume.
( *1 ) As excepções ocorrerem quando baixar é usado com verbo intransitivo o qual significa perder o prestígio; diminuir de valor ou de preço; ser expedido (aviso ou ordem); voltar a juízo (direito).
O processo baixou à primeira vara cível.
A sua autoridade baixou, passou a ser um simples empregado.
Nestes exemplos não é correto substituir “baixar” por “abaixar”.
Referências
Abaixar advém da construção a + baixo + ar.
Baixar advém do latim bassiare.