As duas formas – adiar e adiantar – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações – são palavras “opostas” (antônimos) quando falamos de tempo.
Adiar significa deixar para outra data o que se tem para fazer; protelar; procrastinar; demorar.
Não podemos adiar mais a operação.
Vamos ter de adiar isso, querida.
Adiantar significa mover para diante; apressar; antecipar; avançar.
Vamos nos adiantar e ligar as luzes.
Preciso de adiantar o projecto-lei de agressão.
Obs: neste contexto é antônimo de adiar
Diz-se também de algo que possa trazer vantagem; valer a pena.
As análises não vão adiantar nada.
Diz-se também de do ato de emprestar dinheiro.
Eu tive que adiantar o dinheiro.
Referências
Adiar advém da construção a + dia + ar.
Adiantar advém da construção adiante + ar.