As duas formas – amanhã e a manhã – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Amanhã significa o dia depois de hoje; no dia que segue o dia atual, de hoje.
Amanhã conversamos sobre isso.
Hoje é sábado, amanhã será domingo.
Escrever a manhã é uma referência à “manhã”, i.e., ao período do dia, desde às seis horas até ao meio-dia.
Pensei toda a manhã sobre isso.
Estarei em Londres, durante toda a manhã.
Referências
Amanhã advém do .latim maneana.