A forma correta de escrita é entretanto se queremos mencionar um determinado espaço de tempo ou desejamos usar como sinônimo de todavia, contudo, porém, etc.

Ou seja, escrevemos com termos juntos para o sentido indicado mas, e em outro sentido, “entre tanto” é válido (ver abaixo).

Entretanto significa determinado espaço de tempo; tempo intermédio. É também sinônimo de todavia, porém, contudo ou no entanto.

Entretanto, eu espero :: tempo
Mas entretanto, ninguém tente sair daqui.
Existem, entretanto, dois problemas :: contudo
Podemos formar mais legiões, entretanto, seria perigoso

Escrever entre tanto é uma referência a “muito” em termos de estar perante muitos; múltiplas atividades, tarefas, coisas etc.

É difícil encontrar uma flor entre tanto bosque.
Se tivermos sorte, entre tanto combate e morte, conseguimos nos salvar.