As duas formas – amanhã e a manhã – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Amanhã significa o dia depois de hoje; no dia que segue o dia atual, de hoje.

Amanhã conversamos sobre isso.
Hoje é sábado, amanhã será domingo.

Escrever a manhã é uma referência à “manhã”, i.e., ao período do dia, desde às seis horas até ao meio-dia.

Pensei toda a manhã sobre isso.
Estarei em Londres, durante toda a manhã.


Referências

Amanhã advém do .latim maneana.