A forma correta de escrita é apesar de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com “s” e pronunciado como /z/, daí esta dúvida.
Apesar é um advérbio que significa não obstante; no entanto; todavia.
Funciona habitualmente como locução pela reunião de duas ou mais palavras exercendo uma única função.
Exemplos: apesar de, apesar de que, apesar disso etc.
Apesar do sol, a roupa não seca.
Apesar disso estiveram cá.
É escrito com “s” apesar de ser pronunciado como /z/.
Como sinónimos de apesar podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: ainda que, se bem que, contudo, não obstante, no entanto, todavia.
Apezar não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Advém da construção a + pesar + de.