As duas formas – apóstrofo e apóstrofe – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Apóstrofo é designativo do sinal gráfico ( ), sinal indicativo da elisão, numa palavra, de uma ou mais letras.

O emprego do ápice ( ‘ ) no lugar do apóstrofo ( ’ ) é muito difundido, mas é um erro.

Exemplos de palavras: copo d’água, estrela d’alva, caixa d’água

Apóstrofe é uma figura de linguagem que significa a interrupção que o orador faz, dirigindo-se a coisas ou pessoas, reais ou fictícias.

No discurso político a apóstrofe é bastante usada (“Povo do Rio!!!”).
“Ave Maria” ou mesmo “Ó meu querido Santo António” são exemplos de apóstrofes.


Referências

São palavras parónimas: semelhantes tanto na escrita e na pronúncia mas com significado diferente.

Apóstrofo advém do grego apóstrophos.
Apóstrofe advém do grego apóstrophe.