As duas formas arqueiro e archeiro estão corretas, contudo seus significados nem sempre são os mesmos.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em função do contexto.
Arqueiro significa indivíduo que maneja o arco e flecha, praticante de arquearia; fabricante ou vendedor de arcos.
Eu era o melhor arqueiro na nossa aldeia.
Ogunlola era um arqueiro experiente e um caçador valente.
Diz-se também, e de forma informal, de goleiro.
Archeiro significa antigo soldado armado de archa (antiga arma que é uma haste longa terminada em cutelo e pique); guarda do paço ou da universidade.
Foi um archeiro… era guarda do paço e andava sempre armado de archa.
Apesar de archeiro estar “relacionado” com archa admite-se igualmente a definição de homem armado de arco.
Referências
Arqueiro advém de arco.
Archeiro advém do francês archier.