As duas formas – assoar e assuar – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Assoar significa limpar (o nariz), expelindo o ar com força.
Fez um barulho alto ao assoar o nariz.
Acho que você precisa assoar o nariz.
Assuar significa apupar, vaiar; juntar, congregar, reunir pessoas para provocar distúrbios ou motim.
Estava a assuar que nem uma louca!
Assuar pode ser considerado traição.
Referências
Assoar advém do latim assunare.
Assuar advém do latim assonare.