As duas formas – atuar e autuar – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Atuar significa exercer ação; agir para obter algum resultado; desempenhar um papel como ator; influir.

Saiba como atuar em caso de emergência.
Os jovens são capacitados para atuar em qualquer empresa do setor.

Autuar significa lavrar auto a; processar; multar.

Sim, a Polícia Municipal pode fiscalizar e autuar sempre que se justificar.
Autuar um processo consiste em receber um documento que envolva uma decisão administrativa.


Referências

São palavras parónimas: semelhantes tanto na escrita como na pronúncia com significado diferente.

Atuar advém do latim medieval actuare.
Autuar advém da construção auto + uar.