As duas formas – botar e votar – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Botar significa, como verbo transitivo, pôr; lançar fora; soltar; colocar; transmitir; expedir; enviar.
Nunca mais quero botar os olhos nela!
Tentou botar a culpa em mim.
Como verbo reflexivo significa lançar-se; arremessar-se; dirigir-se.
Votar significa aprovar ou eleger por meio de voto; submeter a votação.
Quero que se registem para votar.
Vamos votar favoravelmente este relatório.
Referências
Botar advém do francês bouter.
Votar advém do latim votare.