As duas formas – botar e votar – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Botar significa, como verbo transitivo, pôr; lançar fora; soltar; colocar; transmitir; expedir; enviar.

Nunca mais quero botar os olhos nela!
Tentou botar a culpa em mim.

Como verbo reflexivo significa lançar-se; arremessar-se; dirigir-se.

Votar significa aprovar ou eleger por meio de voto; submeter a votação.

Quero que se registem para votar.
Vamos votar favoravelmente este relatório.


Referências

Botar advém do francês bouter.
Votar advém do latim votare.