As duas formas coche e coxe estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Coche significa carruagem antiga e rica; qualquer carro de duas rodas, puxado por cavalo.
O seu coche chegou, minha senhora.
O próximo coche para Paris chega de madrugada.
Diz-se também do tabuleiro com rebordos, para conduzir cal amassada; o mesmo que cocho.
Coxe significa barco indígena de moçambique. É também uma flexão do verbo cochar.
Referências
Coche advém do francês coche.
Verbo cochar = torcer (cabos náuticos); apertar, parafusar, enroscar