As duas formas – começaram e começarão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo começar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Começaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ começaram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Alguém se lembra onde é que elas começaram?
Quando me entregaram o texto, as lágrimas começaram a correr.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Começarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ começarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
As aulas começarão no próximo mês.
Quando você passar a acreditar nas coisas, elas começarão a acontecer!