As duas formas – consigo e contigo – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Consigo, como pronome, é usado quando nos referimos à terceira pessoa do singular.
Desejava falar consigo.
É consigo que desejo partilhar o projeto.
Contigo é um pronome e é usado quando nos referimos à segunda pessoa do singular. Podemos usar as mesmas frases como exemplo.
Desejava falar contigo.
É contigo que desejo partilhar o projeto.
A dúvida principal é qual a razão de nos referirmos à terceira pessoa do singular quando estamos a nos referir a “tu”, segunda pessoa, alguém diante de ti.
É basicamente uma questão formal ou de respeito; casos em que tratamos alguém por você como sinal de respeito ou “distância formal”.
Este formalismo é mais comum em Portugal.
Referências
Consigo é também a forma verbal na primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo conseguir mas não é parte do contexto nesta questão.