As duas formas convencê-lo e convence-lo estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras estão corretas e são formas verbais do verbo convencer com o pronome oblíquo átono “o” que assume a forma lo depois do verbo quando este termina em “r, s ou z” (ao mesmo tempo que a terminação verbal é suprimida) mas empregues em diferentes tempos verbais.
Convencê-lo, com acento circunflexo na vogal “e”, é referente ao infinitivo do verbo.
o convencer = [ convencê-lo ]
Tentei convencê-lo a regressar a casa.
Mude a sua tática se quiser convencê-lo.
Se não consigo convencê-lo, talvez ela consiga.
Obs:
infinitivo – transmite ideia de uma ação ou estado, porém sem vinculá-la a um tempo, modo ou pessoa específica
vogal e ou o – implica acento circunflexo
Convence-lo, sem acento gráfico, é referente à segunda pessoa do singular do indicativo do verbo.
tu o convences = [ convence-lo ]
É uma flexão menos usada mas válida.
Por favor, convence-lo a estudar mais.
Tu convence-lo aprovar o projeto de treinamento.