As duas formas – convenceram e convencerão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo convencer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Convenceram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ convenceram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
São dogmas que já convenceram muita gente.
Em 1995, os pescadores convenceram as autoridades a decretar suas águas uma reserva marinha.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Convencerãoo é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ convencerão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Achas mesmo que umas palavras convencerão os eleitores a preferir-te a ti?
Penso que estas evidências não convencerão o júri!