As duas formas – convenceram e convencerão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo convencer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Convenceram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ convenceram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

São dogmas que já convenceram muita gente.
Em 1995, os pescadores convenceram as autoridades a decretar suas águas uma reserva marinha.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Convencerãoo é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ convencerão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

Achas mesmo que umas palavras convencerão os eleitores a preferir-te a ti?
Penso que estas evidências não convencerão o júri!