As duas formas – convier e convir – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações, “convier” é uma forma verbal, “convir” é o infinitivo do verbo.
Convier é uma forma verbal do verbo convir, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do futuro do subjuntivo do verbo.
quando eu [ convier ], quando ele; ela; você [ convier ]
Apareça à hora que mais lhe convier.
Também poderá, se lhe convier, responder por email.
Obs:
futuro do subjuntivo = referente a um fato que poderá ocorrer no futuro
Convir é o infinitivo impessoal do verbo e significa servir, vir a propósito; ser conveniente, ser adequado, ser útil; condizer, ficar bem; concordar com; admitir; aceitar.
Temos que convir que o procedimento foi mal executado.
Julgo que os senhores hão-de convir que precisamos de uma abordagem mais moderna.
Obs:
infinitivo impessoal = referente a uma ideia genérica, sem sujeito determinado; em frases imperativas; em locuções verbais; quando o verbo age como complemento de substantivos, verbos ou adjetivos que necessitam de preposição; quando o sujeito do verbo no infinitivo é o mesmo do da oração anterior; com os verbos auxiliares causativos e sensitivos
Referências
Convier advém do verbo convir.
Convir advém do latim convenire.