As duas formas – dão e dom – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Dão é uma forma verbal do verbo dar, nomeadamente a terceira pessoa do plural do presente do indicativo do verbo.
As damas de honor nem sempre se dão bem.
Paciência e tempo dão mais resultado que força e raiva.
Dom tem dois significado possíveis:
1_ dádiva; benefício da natureza; aptidão inata; qualidade.
Talento é dom, é graça.
Ele tem um dom especial para a música.
2_ título honorífico que precede o nome próprio
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Dom Quixote de la Mancha é um livro escrito pelo espanhol Miguel de Cervantes (1547-1616).
Referências
Dom advém do latim dominu.