As duas formas – de vagar e devagar – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.

De vagar – sabendo que vagar significa falta de pressa ou tempo livre usamos habitualmente a expressão “de vagar” no sentido de dizer que estamos com ou sem tempo disponível conforme o contexto da frase.

Com falta de vagar.

Pode também tomar outro sentido quando “vagar” é referido como verbo; estamos a dizer sem destino ou rumo.

Sentir necessidade de vagar pelo mundo.

Devagar significa de forma lenta; a baixa velocidade; lentamente.

Devagar, mas firme.
Movi os braços devagar.