As duas formas – despensa e dispensa – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Despensa significa repartimento do imóvel onde se guardam mantimentos; copa.
Tem uma caixa delas lá na despensa.
Havia uma despensa perto da escada.
Dispensa significa ato ou efeito de dispensar; isenção de serviço. É também a terceira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo dispensar.
É algo que dispensa comentários.
Demissão, dispensa, exoneração podem ser sinônimos em certos contextos.
Referências
Despensa advém do latim tardio dispensa.
Dispensa é derivado do verbo dispensar.